小数部分均匀分布的初等(大概)证明

Posted on 8/4/2019

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Problem
Proof
Postscript

{nα}\{n\alpha\} 的均匀分布性是一个非常方便好用的命题,之前我一直只知道使用 Wyle 判据的证明方法,但是这一证明方法需要用到稍深入的分析学,包括 Weierstrass 的三角多项式逼近定理。今天我正在思考另外一个和小数部分有关的命题,突然想到了一个有趣的方法,可以用于证明这个问题,于是便将它记录下来了.

#Problem

αR\Q\alpha \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q},求证对于任何一个区间 I[0,1]I \in [0, 1],均有

limn#{iZ1in,{iα}I}n=I\lim_{n \to \infty }\frac{\#\{i \in \mathbb{Z} \mid 1 \leq i \leq n, \{i\alpha\} \in I\}}{n} = \lvert I\rvert

#Proof

不妨设 α[0,1]\alpha \in [0, 1],对任何一个实数 aa,记 a={a+nnZ}a^\ast = \{a + n \mid n \in \mathbb{Z}\}

对任意一个 R\mathbb{R} 上的区间 II 和正整数 nn,记 f(I,n)=i=0n(nα)If(I, n) = \sum_{i = 0}^n \lvert (n\alpha)^*\cap I\rvert ,称 II 是好的,如果

limnf(I,n)n=I\lim_{n \to \infty}\frac{f(I, n)}{n} = \lvert I\rvert

其中 I\lvert I\rvert 表示 II 的长度. 则结论等价于证明任何一个区间都是好的.

任取 uRu\in \mathbb{R} ,注意到

[1,1]{nα u}{u}=i=1n({iαu}{(i1)αu})=nα#{i=1,2,,n{iαu}<α}=nαf([u,u+α],n)\begin{aligned} [-1, 1]\ni &\{n\alpha\ - u\} - \{-u\} = \sum_{i = 1}^n(\{i\alpha - u\} - \{(i - 1)\alpha - u\})\\ = &n\alpha - \#\{i = 1, 2, \ldots, n\mid \{i\alpha - u\}<\alpha\}\\ = &n\alpha - f([u, u+\alpha], n) \end{aligned}

nn\to \infty,得

limnf([u,u+α],n)n=1/α\lim_{n\to \infty}\frac{f([u, u + \alpha], n)}{n} = 1/\alpha

这表明 [u,u+1/α][u, u + 1/\alpha] 是好的. 由于 uu 是任取的,故任何一个长为 α\alpha 的区间都是好的.

注意到如下事实:

  1. 如果有限个好区间不交,那么它们的并是好的
  2. 如果一个好区间是另一个的子集,那么这两个区间的差也是好的.
  3. 长为整数的区间是好的.

根据上面的第一点,所有长度为 α\alpha 的倍数的区间都是好的,结合第二点和第三点,可以得到任何长度形如 nαk (n,kZ)n\alpha - k\ (n, k \in \mathbb{Z}) 的区间都是好的,记 K={nαkn,kZ}K = \{n\alpha - k \mid n, k \in \mathbb{Z}\},熟知 KK 是稠密的.

最后,对于任何一个区间 II 和正实数 ϵ\epsilon ,由上面的结论知存在两个区间 I1,I2I_1, I_2 ,使得 I1II2I_1 \subseteq I \subseteq I_2I2\I<ϵ\lvert I_2 \backslash I\rvert <\epsilonI\I1<ϵ\lvert I\backslash I_1\rvert < \epsilon,且 I1,I2I_1, I_2 是好的. 因此

lim infnf(I,n)nlim infnf(I1,n)n=limnf(I1,n)n=I1>Iϵ\liminf_{n \to \infty}\frac{f(I, n)}{n} \geq \liminf_{n \to \infty}\frac{f(I_1, n)}{n} = \lim_{n \to \infty}\frac{f(I_1, n)}{n} = \rvert I_1\lvert > \lvert I\rvert - \epsilon

由于ϵ\epsilon是任取的,故

lim infnf(I,n)nI\liminf_{n \to \infty}\frac{f(I, n)}{n} \geq \lvert I\rvert

同理

lim supnf(I,n)nI\limsup_{n \to \infty}\frac{f(I, n)}{n} \leq \lvert I\rvert

limnf(I,n)n=I\lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(I, n)}{n} = \lvert I\rvert ,即 II 是好的. 证毕.

#Postscript

顺带一提,我最开始思考的问题是

求证:αR\Q\forall \alpha \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}limni=1n{iα}n=12\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i = 1}^{n}\{i\alpha\}}{n} = \frac{1}{2}

不知有无简单的解法