北夏第四题的证明

Posted on 8/6/2019

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Problem
Sketch
Postscript

昨晚看到今年北夏第一天的题目,显然第四题是最好看的一个,发现一个比较自然的做法,记录如下:

#Problem

f(x)f(x) 是一个实系数多项式,求证存在一个实系数多项式 gg,使得 degf=degg\deg f = \deg g,且

g(z)2=f(z)2+1, z=1\lvert g(z) \rvert^2 = \lvert f(z) \rvert^2 + 1,\ \forall \lvert z \rvert = 1

#Sketch

如果 0 是 ff 的根,将ff约去因子 zuz^u 使得剩下的多项式不含根 0,注意到这不影响本题的结论,故不妨0不是ff的根,进一步地,我们下文中所提到的多项式均默认是指不含根0的多项式.

稍加计算不难发现 f(z)\lvert f(z) \rvert 在单位圆上是一个关于 x:=zx :=\Re z 的多项式,因此我们考虑研究对于什么样的 r(x)R[x]r(x) \in \mathbf{R}[x],存在一个多项式 k(x)R[x]k(x) \in \mathbf{R}[x],使得

r(x)=k(z)2, z=1r(x) = \lvert k(z) \rvert^2,\ \forall \lvert z \rvert = 1

(其中 x:=zx := \Re z),称这样的一个多项式 rr 为模多项式,为了研究这样所有模多项式 r(x)r(x) 的性状,我们考虑研究它的根的情况,即研究 k(z)2\lvert k(z)\rvert^2 作为一个关于 x=zx = \Re z 的多项式的根是怎么样的. 注意到

k(z)2=A2zrj2(zzj)(zzj)2\lvert k(z) \rvert^2 = A^2\prod\lvert z - r_j \rvert^2\prod \lvert (z - z_j)(z - \overline{z_j})\rvert^2

其中 AAkk 的首项系数,rjr_j 是它的所有实根,zj,zjz_j, \overline{z_j} 是它的所有共轭复根对,\prod 表示对这些根求乘积. 因此我们只需研究每个因式的根即可. 设 zj=aj+ibjz_j = a_j + i b_jz=x+iyz = x + iy

zrj2=xrj)2+y2=1+rj22rjx\lvert z - r_j \rvert^2 = (x - r_j)^2 + y^2 = 1 + r_j^2 - 2r_jx

它的根为

1+rj22rj\frac{1 + r_j^2}{2r_j}

这个数的绝对值不小于 1,并且易见对于每个绝对值不小于1的实数 xx,都存在一个 rr,使得 x=1+rj22rjx = \frac{1 + r_j^2}{2r_j},另一方面

(zzj)(zzj)2=((xaj)2+(ybj)2)((xaj)2+(ybj)2)=(1+aj2+bj22ajx)2(2by)2\begin{aligned} \lvert (z - z_j)(z - \overline{z_j})\rvert^2 &= \left((x - a_j)^2 + (y - b_j)^2)((x - a_j)^2 + (y - b_j)^2\right) \\ &= (1 + a_j^2 + b_j^2 - 2a_jx)^2 - (2by)^2 \end{aligned}

经过一些计算,它的根是

x=12((aj+ajaj2+bj2)±(bjbjaj2+bj2)i)x = \frac{1}{2} \left( (a_j + \frac{a_j}{a_j^2 + b_j^2}) \pm (b_j - \frac{b_j}{a_j^2 + b_j^2})i\right)

不难验证对于任意实数 u,vu, v,均存在实数 a,ba,b,使得

u=aj+ajaj2+bj2,v=bjbjaj2+bj2u = a_j + \frac{a_j}{a_j^2 + b_j^2},\quad v = b_j - \frac{b_j}{a_j^2 + b_j^2}

此外通过观察,我们还得到了 rr 的常数项为正数. 我们猜想这是一个充要条件,也就是说,当且仅当 r(z)r(z) 的所有实根的绝对值不小于 1 时,且常数项为正时,存在一个满足 r(x)=k(z)2, z=1r(x) = \lvert k(z) \rvert^2,\ \forall \lvert z \rvert = 1 的多项式 kk. 根据上面的分析,这个命题的正确性是显然的.

因此我们得到如下事实:

一个实系数多项式是模多项式当且仅当它的所有根的模均不小于 1,且常数项为正数

显然它等价于

一个实系数多项式是模多项式当且仅当它在 [1,1][-1, 1] 上非负

注意到待证结论等价于证明一个模多项式加 1 之后仍是模多项式. 根据上面的结论,这显然成立.

#Postscript

我之前犯了一些非常愚蠢的错误导致我最后误以为找到了反例(详见 repo 里面的 commit 历史),感谢迷神的指正.

这个证明应该是非常自然的,将一个比较难控制的多项式的模转化为一个单元实多项式的性质,然后分析它的根. 当然,标答的处理似乎还要更自然一些,过程也简洁不少,让人看了一眼之后就能领会到它的意思. 总而言之,这个问题是非常漂亮的,可以说是一道很巧妙的题了(比起 wk 的毒瘤几何题来说).