小数部分均匀分布的初等(大概)证明

$\{n\alpha\}$的均匀分布性是一个非常方便好用的命题,之前我一直只知道使用Wyle判据的证明方法,但是这一证明方法需要用到稍深入的分析学,包括Weierstrass的三角多项式逼近定理。今天我正在思考另外一个和小数部分有关的命题,突然想到了一个有趣的方法,可以用于证明这个问题,于是便将它记录下来了.

Problem

$\alpha \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$,求证对于任何一个区间$I \in [0, 1]$,均有

Proof

不妨设$\alpha \in [0, 1]$,对任何一个实数$a$,记 $a^* = \{a + n \mid n \in \mathbb{Z}\}$

对任意一个$\mathbb{R}$上的区间$I$和正整数$n$,记$f(I, n) = \sum_{i = 0}^n \lvert (n\alpha)^*\cap I\rvert$ ,称$I$是好的,如果

其中$\lvert I\rvert$表示$I$的长度. 则结论等价于证明任何一个区间都是好的.

任取$u\in \mathbb{R}$,注意到

取$n\to \infty$,得

这表明$[u, u + 1/\alpha]$是好的. 由于$u$是任取的,故任何一个长为$\alpha$的区间都是好的.

注意到如下事实:

  1. 如果有限个好区间不交,那么它们的并是好的

  2. 如果一个好区间是另一个的子集,那么这两个区间的差也是好的.

  3. 长为整数的区间是好的.

根据上面的第一点,所有长度为$\alpha$的倍数的区间都是好的,结合第二点和第三点,可以得到任何长度形如$n\alpha - k\ (n, k \in \mathbb{Z})$的区间都是好的,记$K = \{n\alpha - k \mid n, k \in \mathbb{Z}\}$,熟知$K$是稠密的.

最后,对于任何一个区间$I$和正实数$\epsilon$,由上面的结论知存在两个区间$I_1, I_2$,使得$I_1 \subseteq I \subseteq I_2$,$\lvert I_2 \backslash I\rvert <\epsilon$,$\lvert I\backslash I_1\rvert < \epsilon$,且$I_1, I_2$是好的. 因此

由于$\epsilon$是任取的,故

同理

故$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(I, n)}{n} = \lvert I\rvert$,即$I$是好的. 证毕.

Postscript

顺带一提,我最开始思考的问题是

$\forall \alpha \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$,

不知有无简单的解法

PREVIOUS
一个猜想的证明
NEXT
北夏第四题的证明